Дрена родилась 3 сентября 1967 года в Нью-Йорке (штат Нью-Йорк, США) в семье актрисы Дайанн Эбботт (англ.)русск. (род. 1945) и её первого мужа, которого Дрена никогда не видела. Родители Дрены развелись, когда она была ребёнком и после того, как в 1976 году её мать повторно вышла замуж за актёра Роберта Де Ниро, он удочерил её, дал ей свою фамилию и заменил ей биологического отца. У Де Ниро есть младший единоутробный брат — актёр Рафаэль Де Ниро (род. 1976), а также четверо младших сводных братьев и сестёр, дети отчима: близнецы Джулиан Генри Де Ниро и Ааро Кендрик Де Ниро (род. 1995) от его фактического брака с Туки Смит (англ.)русск., Эллиот Де Ниро (род. 1998) и Хелен Грэйс Де Ниро (род. 2011) от его второго брака с Грэйс Хайтауэр.