Александр Сергеевич Богачев родился 24 октября 1955 года в городе Подольске РСФСР, СССР.Отец, Сергей Родионович, трудился сначала рабочим, а затем бригадиром на предприятии, которое сейчас известно как НПО «Луч» .Мать, Валентина Федоровна, много лет проработала сборщицей швейных машин на Подольском механическом заводе (ПМЗ). Наряду с другими наградами она была удостоена и медали «За доблестный труд в Великой Отечественной войне» .
В 1973 году, не пройдя по конкурсу в ВВМУ имени М. В. Фрунзе, Александр Сергеевич вернулся в Подольск и работал слесарем-сборщиком на ПМЗ.
В возрасте 18 лет призван на срочную службу в ВМФ. После обучения в Кронштатдском учебном отряде подводного плавания направлен служить на Северный флот, в пос. Гремиха на РПКСН, в ракетную боевую часть (БЧ-2).
В 1974—1979 годах учился в Высшем военно-морском училище подводного плавания имени Ленинского Комсомола. Окончил с отличием, с правом выбора места службы.
В 1989 году окончил Высшие специальные офицерские классы ВМФ, с отличием.Дальнейшее прохождение службы: командир стартовой группы БЧ-2 РПКСН (1979);командир БЧ-2 второго экипажа ТК-13 пр.941 (1984);старший помощник командира по боевому управлению ТК-202 пр.941 (1987);старший помощник командира ТК-202 (1989);командир атомной подводной лодки ТК-202 пр.941 (1993);командир атомной подводной лодки ТК-20 пр.941 (1995).Награждён орденами и медалями СССР и России, именным пистолетом.
В связи с избранием председателем Совета депутатов ЗАТО г. Заозерска приказом министра обороны в 2005 г. досрочно уволен в запас.Подводникам известен как командир «Акулы» ТК-20 («Северсталь» ), самой ходовой лодки этого проекта в 1990-е годы. Экипаж, возглавляемый А. С. Богачёвым занимал передовые позиции на соединении и флоте. Под его командованием 25 августа 1995 года с борта АПЛ был произведен учебный пуск баллистической ракеты с разделяющимися головными частями из района Северного полюса по полигону в Архангельской области. За выполнение этой задачи находившийся в качестве старшего на борту контр-адмирал В. М. Макеев был удостоен звания Героя России, часть экипажа получила государственные награды.
В марте и декабре 1997 года моряки подводного крейсера «Северсталь» произвели ракетную стрельбу полным боекомплектом по программе утилизации. За эту стрельбу экипаж был признан лучшим на Северном флоте по ракетной подготовке.
С 2004 года старпом экипажа, А. В. Богданов, получил под командование однотипный корабль, ТК-17 «Архангельск» .
В годы Великой Отечественной войны на рубках советских подводных лодок, отличившихся в боевых операциях, были нарисованы красные звезды, на которых обозначалось число потопленных вражеских кораблей, такая звезда была и на высокой рубке ТК-20 («Северсталь» ).
С числом «55» — равным количеству выполненных ракетных пусков. У самого же Богачёва А. С. их 58 (мировой рекорд). Широкой общественности известен по документальному фильму «Русская Акула» о подводниках, снятому студией «Корона-фильм» , а также по циклу рассказов «Акулы из стали» Эдуарда Овечкина, который служил под командованием Александра Сергеевича в экипаже ТК-20. Капитана 1 ранга Богачева А. С. за успешное выполнение вышеуказанных заданий дважды представляли к званию Героя России, но он его так и не был удостоен. Ему вручили орден Мужества и орден «За заслуги перед Отечеством» IV степени.Скончался 15 февраля 2015 года после тяжёлой и продолжительной болезни. Похороны состоялись 18 февраля на Подольском городском кладбище, 21 участок (кладбище Красная Горка).