Леонид Белявский родился 10 октября 1927 года в городе Полтаве Украинской ССР в семье работника книготорговли Савелия Белявского.Учился в Горьковском авиационном техникуме (1942—1947), некоторое время работал на Горьковском авиационном заводе.
В 1951 году окончил отделение «Актёр драматического театра и кино» Горьковского театрального училища (группа «Б» , творческие руководители — Народный артист РСФСР Н. А. Левкоев, В. А. Лебский, В. Л. Витальев). Его сокурсниками были Евгений Евстигнеев, Людмила Хитяева, Михаил Зимин, Владимир Вихров, Александр Палеес. Несколько лет был актёром в Горьковском ТЮЗе, а затем окончил режиссёрский факультет Ленинградского государственного института театра, музыки и кинематографии имени Н. К. Черкасова.
В 1960-е годы работал режиссёром-постановщиком в Смоленском государственном драматическом театре имени А. С. Грибоедова и Горьковском театре драмы. Поставил свои первые спектакли — «В день свадьбы» , «Все мои сыновья» , «Женский монастырь» , «Остановка автобуса» .
В 1964—1975 годах — режиссёр Рижского театра русской драмы. Среди постановок: «За час до полуночи» В. Шубрта, «Хочу быть честным» Владимира Войновича, «Разорванный рубль» Сергея Антонова и Оскара Ремеза, «Я отвечаю за всё» по роману Юрия Германа, «Жизнь господина де Мольера» («Кабала святош» ) Михаила Булгакова, «Энергичные люди» Василия Шукшина.
В 1975—1988 годах работал в Красноярском крае.
В 1975—1982 годах — режиссёр Норильского Заполярного театра драмы имени В. В. Маяковского, где запомнился новаторскими постановками: «Темп-29» по пьесе Н. Погодина, «Мистерия — буфф» по пьесам Владимира Маяковского, «Случай в метро» Н. Бауэра.
В 1983—1988 годах — главный режиссёр Красноярского драматического театра имени А. С. Пушкина. Среди работ: «Дети Арбата» Анатолия Рыбакова, «Театр Нерона и Сенеки» Эдварда Радзинского «Не убий» Виктора Астафьева, «Грехопадение» Владимира Набокова. Во время работы в Красноярске был удостоен почётного звания «Народный артист РСФСР» .
В 1988—1999 годах — главный режиссёр Рижского русского театра имени Михаила Чехова. Среди постановок на рижской сцене: «Чонкин» , «Камера-обскура» , «Жених из Иерусалима» , «Месяц в деревне» , «Грехи Трины» , «Чума на ваши оба дома!» , «Голый король» , «Трактирщица» , «Онегин, добрый мой приятель» , «…а счастье лучше» , «Браво, Лауренсия!» , «…Не везёт мне в смерти — повезёт в любви» и входящие в современный репертуар постановки «Бинго» , «Юбилей всмятку» и «Ретро» .
В 1999—2004 годах — главный режиссёр Нижегородского государственного академического театра драмы имени М. Горького. Среди постановок: «Девятый праведник» Е. Юрандота, «Куколка» Теннеси Уильямса, «Похождения Чичикова» по поэме Н. В. Гоголя «Мёртвые души» , «Гамлет, принц датский» Уильяма Шекспира, «Петербургский роман» («Униженные и оскорблённые» ) по Ф. М. Достоевскому.
В последние годы — внештатный режиссёр Рижского русского театра имени Михаила Чехова.