Абрахам является ассирийцем по отцу, итальянцем по матери.
В течение нескольких десятков лет играл в телесериалах, снимался в рекламных роликах и в кино, при этом его имя оставалось практически неизвестным.
В 1983 году Милош Форман пригласил его сыграть Антонио Сальери в историческом фильме «Амадей» , и за эту роль Ф. Мюррею Абрахаму была присуждена престижная премия Американской киноакадемии «Оскар» .После этого неожиданного прорыва в работах актёра стали преобладать злодеи сальериевского типа («Имя розы» , «Последний киногерой» ).