Родился в 1957 году в Шемахе.
С 1970-го по 1982 -ой проживал с родителями в пос. Ашагы Гюздек Апшеронского района.
В 1978-1982 годах обучался в Бакинском музыкальном училище им. Асафа Зейналлы, а в 1983-1989 годах в Азербайджанском государственном институте искусств им. М. А. Алиева.
В 1979 году состоялось первое выступление певца по азербайджанскому телевидению.
В 1980 году был участником XXII Летних Олимпийских Игр, проходивших в Москве.Творческая биография певца обогащена участием во многих международных фестивалях а также концертами в Америке, Европе и Азии. За 1989-2001 годы в Европе было выпущено более 10 дисков Алима Гасымова.
В 1999 году состоялась презентация диска «Любовь глубокого океана» , получившего большую популярность в Европе, а также документального фильма об азербайджанском ханенде, снятого ЮНЕСКО.Алим Гасымов является участником известного проекта «Великий Шелковый путь» , организованного всемирно известным виолончелистом Йо-Йо Ма, а также членом ансамбля «Шелковый путь» , состоящего из лучших музыкантов мира.
С 1989 года — солист Азербайджанского государственного театра оперы и балета. Исполнял роль Меджнуна, Ашыга Гариба и др.Преподает в Музыкальном училище имени Асафа Зейналлы, имеет учёное звание доцента.