В 1933 году он окончил 1-й Московский медицинский институт.
В 1940 году Авцын начал работать на кафедре патологической анатомии 1-го Московского медицинского института.
В 1955 году назначен заведующим патологической лаборатории Института нейрохирургии АМН СССР, в 1961 году Авцын назначен директором Института морфологии человека АМН СССР.Скончался Александр Авцын в 1993 году в Москве. Похоронен на Ваганьковском кладбище.