Родился в Гродненской губернии в семье крестьянина.
В 1857 году, как первый ученик Бельской гимназии, он получил стипендию Виленского учебного округа и поступил в Императорский Казанский университет на историко-филологический факультет, а через год перешёл на медицинский, по окончании которого был оставлен на кафедре хирургии и офтальмологии.
В 1864—1865 учебном году вёл практические занятия со студентами по оперативной хирургии.
В 1865 году он был назначен ординатором при глазном отделении госпитальной хирургической клиники.Э. В. Адамюк под руководством Н. О. Ковалевского подготовил и защитил в 1867 году докторскую диссертацию «К учению о внутриглазном кровообращении и давлении» и через три года, 28 мая 1870 года был избран доцентом кафедры офтальмологии Казанского университета; в 1871 году он стал экстраординарным, а в 1872 году — ординарным профессором (преподавал до 1901 года).
В 1870 году он организовал небольшую глазную клинику, в которую приезжали сотни больных из Сибири и Урала.Будучи одним из основоположников отечественной офтальмологии, опубликовал около 100 работ по внутриглазному кровообращению и давлению, первым обосновал ведущую роль нарушения оттока крови из сосудистой оболочки глаза как причины возникновения глаукомы, которой посвящено 16 его публикаций. Адамюк разработал теорию инфекционного происхождения трахомы — без микроскопических исследований, только на основании своих практических наблюдений. Другим важным направлением его исследований была миопия, главным условием возникновения и дальнейшего развития которой он посчитал «сведение глаз при рассматривании близких предметов, которое будет тем сильнее, чем ближе эти предметы» ; одним из первых он отметил роль наследственного фактора в формировании близорукости: «особенно подвержены глаза с изначальным истончением оболочек, которое, по его мнению, передается по наследству от близоруких родителей» .Им было написано «Руководство к изучению болезней глаза» . Среди его учеников: А. Г. Агабабов, В. В. Чирковский, В. Е. Адамюк.Умер после тяжёлой и длительной болезни в 1906 году. Похоронен на Арском кладбище в Казани.