Родился 16 апреля 1907 года в селе Новая Казанка Оренбургской губернии, ныне Бузулукского района Оренбургской области, в семье крестьянина.По окончании начальной школы в родном селе, работал в хозяйстве родителей.
В 1929 году вступил в колхоз «Красный Урал» в селе Трудовое ныне Соль-Илецкого района Оренбургской области. Был направлен на курсы комбайнеров, окончив которые, с 1932 года работал на Большевистской МТС в Ташлинском районе Оренбургской области. Первоначально — трактористом, затем — комбайнером.
В 1936 году был избран делегатом Чрезвычайного VIII-го съезда Советов.
В 1941 году Алексей Веретин был призван в Красную армию. Стал участником Великой Отечественной войны, воевал пулемётчиком на Ленинградском фронте.
В октябре 1941 года был тяжело ранен и лишился обеих ног. После длительного лечения в госпиталях был демобилизован и вернулся в родное село. Став инвалидом, только в 1952 году он смог снова приступить к работе и, несмотря на тяжёлое увечье, начал трудиться слесарем по ремонту сельскохозяйственной техники, а затем, самостоятельно приспособив комбайн для управления без ног, стал комбайнером на комбайне «Сталинец-6» .
В 1954 году с площади 1750 гектаров Веретин намолотил более 10 тысяч центнеров зерна.Продолжал работать на комбайне в последующие годы. Трагически погиб, утонув 7 октября 1958 года, когда при въезде на паром для переправы через реку Урал в Бурлинском районе Западно-Казахстанской области управляемый им автомобиль «ГАЗ-69» съехал в воду. Был похоронен на родине — в селе Ташла.Избирался депутатом Чкаловского областного и Ташлинского районного Советов народных депутатов. Именем Героя названа улица в Ташле; также в селе проводятся легкоатлетические кроссы в его память. Его портрет находится на районной Доске почёта.
В семье у Алексея Веретина было пятеро детей, двое из которых — Иван и Лидия живут в Ташле.