Адриан Вельгат родился в городе Эльблонг, Варминьско-Мазурское воеводство, Польша.
С двенадцатилетнего возраста начал профессионально заниматься конькобежным спортом. Тренируется на базе клуба «KS Orzel Elblag» .
В клубе за его подготовку отвечает Роман Рыцке (польск. Roman Rycke), а в национальной сборной — Витольд Мазур (польск.)русск.. Состоит в отношениях с Виолой Борцовской (польск. Wiola Borcowska).Бронзовой медалью завершилось выступление Вельгата на чемпионате мира по конькобежному спорту на отдельных дистанциях 2018 года, что проходил в российском городе — Коломна. 7 января на катке Центра конькобежного спорта во время командной гонки преследования среди мужчин польская команда с результатом 3: 52.60 (+9.81) финишировала третей, уступив более высокие позиции соперникам из России (3: 44.59 (+1.80) — 2-е место) и Нидерландов (3: 42.79 — 1-е место).
На зимних Олимпийских играх 2018 года Адриан Вельгат дебютировал в забеге на 5000 м. 11 февраля 2018 года на Олимпийском Овале Каннына в забеге на 5000 м он финишировал с результатом 6: 31.71 (+21.95).
В итоговом зачёте Адриан занял 22-е местоПримечания SpeedskatingResults.com (англ.). speedskatingresults.com. Проверено 10 марта 2018. Архивировано 18 августа 2016 года. SS - Person Bio. isu.html.infostradasports.com. Проверено 11 марта 2018. Архивировано 11 марта 2018 года. ISU World Single Distances Championships 2018 (англ.). live.isuresults.eu. Проверено 11 марта 2018. Архивировано 8 января 2018 года. SS - PhaseEvent. isu.html.infostradasports.com. Проверено 11 марта 2018. Архивировано 11 марта 2018 года. SOFTEL. Adrian Wielgat z olimpijska nominacja (польск.), portelpl. Архивировано 11 марта 2018 года. Проверено 11 марта 2018. Результаты: Пхёнчхан 2018 - Конькобежный спорт - мужчины, 5000 м. Olympteka.ru (рус.), Olympteka.ru: олимпийская энциклопедия, новости спорта, статистика. Архивировано 17 сентября 2017 года. Проверено 10 марта 2018. Pjongczang 2018: Adrian Wielgat zajal 22. miejsce (pl-PL), Przeglad Sportowy (11 февраля 2018). Архивировано 11 марта 2018 года. Проверено 11 марта 2018. Olympics-Speedskating-Men"s 5000m results, Reuters (Sun Feb 11 09: 05: 56 UTC 2018). Архивировано 11 марта 2018 года. Проверено 11 марта 2018.