С детства занимался в изостудии. Продолжил художественное обучение в московском Доме пионеров.
В ходе Великой Отечественной войны был призван в Красную Армию.
С ноября 1942 года в боевых частях Брянского фронта. Служил в частях 48-й армии сначала рядовым, позднее сержантом и комсоргом батальона. Прошёл с боями от Орла до Кёнигсберга. Награждён орденом и медалями.
В августе 1945 года после окончания войны в рядах особого подразделения художников принимал участие в создании выставки «Боевой путь 3-го Белорусского фронта» под руководством известного московского художника Андрея Дмитриевича Гончарова.
В 1946 году, демобилизовавшишсь, поступил на факультет монументальной живописи Московского института прикладного и декоративного искусства. Среди преподавателей Васнецова были такие художники как А. А. Дейнека, А. Д. Гончаров, П. П. Соколов-Скаля.
В 1953 году Андрей Васнецов защитил диплом с отличием в Ленинградском высшем художественно-промышленном училище имени МухинойЧлен Союза художников с 1956 года.
С 1975 года Васнецов преподает в Московском Полиграфическом институте, где в 1980 году становится заведующим кафедрой рисунка, живописи и композиции.
С 1986 года — профессор этого института.Также активно занимается и общественной деятельностью.
С 1983 года А. В. Васнецов — секретарь правления, а с 1988 по 1992 год — председатель правления Союза художников СССР. Избирался депутатом 1-го съезда народных депутатов СССРДействительный член Российской академии художеств (1992), с 1998 — член Президиума. Был почётным председателем Фонда Васнецовых.Скончался на 86 году жизни после продолжительной тяжёлой болезни. После отпевания похоронен на Введенском кладбище Москвы.