Игорь Владимирович Кваша родился 4 февраля 1933 года в Москве. Окончив школу, пошел учиться на актера.
В 1955 году Кваша окончил Школу-студию МХАТ и два года играл на сцене МХАТа.
В 1957 году он переходит на работу в театр «Современник» , где и работает всю свою жизнь. Его называют одним из основателей этого театра, вместе с Олегом Ефремовым и Галиной Волчек.Кваша был ведущим актером «Современника» и играл во многих спектаклях - «Вишневый сад» , «Карамазовы и ад» , «Бесы» , «Балалайкин и К°» , «Виндзорские насмешницы» , «Титул» , «Играем... Шиллера!» , «Трудные люди» и других.
Он пробовал свои силы и в качестве режиссера, поставив спектакли: «Дни Турбиных» , «Кот домашний средней пушистости» , «Кабала святош» , «Балалайкин и К°» .Актер сыграл большое количество ролей не только в театре, но и в кино, где дебютировал в 1961 году в фильме «В трудный час» . А первой большой его работой стала роль Карла Маркса в кинокартине «Год как жизнь» .Лучшими фильмами с его участием являются: «Соломенная шляпка» , «Жребий» , «Просто Саша» , «Сыщик» , «Тот самый Мюнхгаузен» , «Сказки старого волшебника» , «Человек с бульвара Капуцинов» и другие. Еще он принимал участие в озвучивании фильмов и мультфильмов.
На протяжении нескольких лет Игорь Владимирович являлся ведущим телевизионной передачи Первого канала «Жди меня» . Также он является автором автобиографической книги «Точка возврата» .Народный артист РСФСР, лауреат Российской национальной актерской премии имени Андрея Миронова «Фигаро» - Кваша награжден орденами «За заслуги перед Отечеством» III степени и Дружбы, а также благодарностью Президента Российской Федерации (за большие заслуги в развитии отечественного театрального и кинематографического искусства).Игорь Владимирович Кваша скончался 30 августа 2012 года в Москве на 80-м году жизни.