Мориц Гауптман родился в семье архитектора; под руководством отца изучал математику, рисование и древние языки.Благодаря матери он усвоил французский язык, а также итальянский, бывший в ходу между музыкантами дрезденского двора, среди которых в юности Гауптман и вращался. Восьми лет стал учиться играть на скрипке, затем занимался фортепиано под руководством Франца Лауски.
В 1808 г. под руководством дрезденского придворного капельмейстера Франческо Морлакки занялся контрапунктом и, таким образом, получил всестороннее образование.
В 1811 г. Гауптман поехал ещё в Готу, к знаменитому Людвигу Шпору. Через год вернулся в Дрезден, получил здесь место скрипача в придворной капелле, но вскоре отказался от него и самостоятельно предпринял концертную поездку в Вену и Прагу.
В 1815 г. поступил учителем музыки в дом князя Репнина, в надежде отправиться с его семейством путешествовать по Италии. Однако князь Репнин был назначен губернатором в Малороссию, Гауптман остался в России, в доме Репнина, и жил сначала в Петербурге, затем в Москве и, наконец, в Полтаве (до 1820 года).О музыкально-общественной деятельности в Полтаве нечего было и думать, и он снова принялся за прерванные научные занятия по математике и естествознанию, зарекомендовал себя в качестве архитектора и землемера.
В этот период также занимался сочинением музыки (песни, скрипичные дуэты, опера «Матильда» ).
В 1820 году Мориц Гауптман вернулся в Дрезден, через 2 года переселился в Кассель, где его связывала дружба со Шпором и где он получил место скрипача в придворной капелле. Здесь он впервые обратился к педагогической деятельности, и среди его учеников были Фридрих Бургмюллер и Фердинанд Давид.
С 1842 года Гауптман жил в Лейпциге, где руководил знаменитым хором мальчиков (в гимназии при Томаскирхе), а в 1843 стал профессором композиции в новосозданной Лейпцигской консерватории.
К его многочисленным ученикам принадлежали Евгений Альбрехт, Вольдемар Баргиль, Фёдор Бегров, Никодим Бернацкий, Ганс фон Бюлов, Эдвард Григ, Артур Салливен, Йозеф Иоахим, Карл Давыдов, Густав Гофман-Грабен и многие другие.
В 1842—1846 гг. Гауптман редактировал лейпцигскую «Всеобщую музыкальную газету» .
В 1850 году вместе с Отто Яном и Робертом Шуманом он основал Баховское общество, в дальнейшем он редактировал первые три тома предпринятого обществом издания полного собрания сочинений Иоганна Себастьяна Баха.