Зенон Дашак родился 17 июля 1928 года в городе Стрый Львовской области в семье железнодорожника.
С 1946 по 1951 год учился в Львовской государственной консерватории им. Н. Лысенко в классе профессора Павла Макаренко; затем — в аспирантуре Киевской государственной консерватории им. П. Чайковского (1951—1954, ныне Национальная музыкальная академия Украины имени П. И. Чайковского), где защитил диссертацию на тему: «Камерно-инструментальные произведения и исполнительская деятельность Н. В. Лысенко» . Остался работать в консерватории. Прошел путь от старшего преподавателя, доцента — до заведующего кафедрой струнно-смычковых инструментов (с 1961 г.) и проректора по учебной и научной работе (1963—1965.).
В то время в киевской консерватории работали выдающиеся деятели культуры Украины: Б. Лотошинский, Л. Ревуцкий, И. Паторжинский, Н. Рахлин, В. Стеценко, М. Донец, З. Гайдай, А. Пархоменко, А. Горохов, В. Червов, А. Манилов, Р. Лысенко и др.
В Киеве Зенон Дашак выступал в составе струнного квартета с музыкантами: А. Гороховым, С. Кравцовым и др.
В 1965 году Зенон Дашака назначили на должность ректора Львовской государственной консерватории им. Н. Лысенко.
В консерватории он создал струнный квартет, участниками которого кроме него были Александр Деркач, Богдан Каскив и Харит Колесса.
С этим составом музыканты выступали на протяжении нескольких лет в городах СССР и за рубежом. Впоследствии в этом коллективе играли народная артистка Украины, профессор Лидия Шутко, музыканты Татьяна Шупьяна, Татьяна Сиротюк, лауреат Национальной премии им. Т. Г. Шевченко Юрий Ланюк. Партнером в составе квинтета выступал пианист и народный артист Украины, профессор Олег Криштальский.За время работы Дашака в должности ректора в консерватории проводились исполнительские конкурсы (Всесоюзные по специальностям скрипка, альт, контрабас, арфа; Всеукраинские конкурсы пианистов им. Н. Лысенко и дирижеров), научные конференции, совещания. Дашак был членом жюри всеукраинских и всесоюзных конкурсов, многочисленных международных: во Франции, Германии, Грузии, Румынии, Литве, где сотрудничал с выдающимися музыкантами, такими, как: Л. Коган, А. Хачатурян, В. Борисовский, С. Зенакер, В. Тактакишвили, И. Безродный, М. Ростропович, С. Цинцадзе, А. Свешников, Ф. Дружинин, В. Дулова, В. Климов и др.Зенон Дашак в разное время был председателем Львовского отделения общества «Украина» , членом президиума Львовского фонда культуры, Общества украинского языка им. Т. Г. Шевченко и др.
С 1981 по 1993 год Дашак вёл во Львове педагогическую деятельность.
Он возглавлял в консерватории кафедру струнно-смычковых инструментов (альт, виолончель, контрабас, арфа), воспитал более тридцати альтистов: Г. Фрейдина, И. Ферцера, Ю. Женчур, С. Калиновского, Д. Комонько и др.Зенона Дашака считают основателем украинской альтовой школы, его выпускники работают в музыкальных учебных заведениях и концертно-театральных учреждениях в Украине и за её пределами. Педагог является автором более 40 работ по проблемам музыкального исполнительства, 15 сборников педагогического репертуара для скрипки и альта, сборников упражнений и этюдов, ряда обработок и переводов для альта; написал «Украинская сюита» и «Вариации» для скрипки (альта) и фортепиано.Зенон Алексеевич Дашак скончался 26 июня 1993 года во Львове, похоронен в городе Стрый.