Родился 14 октября 1941 года в Куйбышеве в семье Василия Сталина и Галины Бурдонской. При рождении носил фамилию Сталин; в зрелом возрасте взял фамилию матери (см. также ниже .mw-parser-output .ts-Переход img{margin-left: .285714em}).Окончил Калининское суворовское училище. После седьмого класса в 1955 году поступил в Театральное художественно-техническое училище на театрального художника, параллельно участвует в самодеятельности в Доме пионеров, который располагался в Тихвинском переулке. После окончания ТХТУ в 1958 г. работает художником — бутафором в разных театрах Москвы.
В 1966 году поступает в ГИТИС на режиссерское отделение курса Марии Кнебель. Также был принят на актёрский курс студии при театре «Современник» к Олегу Николаевичу Ефремову.По окончании ГИТИСа в 1971 году Бурдонского приглашает играть шекспировского Ромео Анатолий Эфрос в театр на Малой Бронной. Спустя три месяца Мария Кнебель зовёт в Центральный театр Советской Армии ставить спектакль «Тот, кто получает пощёчину» Леонида Андреева, в котором сыграли Андрей Попов и Владимир Зельдин. После осуществления этой постановки в 1972 году главный режиссёр ЦТСА Андрей Алексеевич Попов предложил А. В. Бурдонскому остаться в театре.
В течение десяти лет вместе с Элиной Быстрицкой преподавал в ГИТИСе.Первый из потомков Сталина опубликовал результаты исследования своей ДНК.Скончался в ночь на 24 мая 2017 года на 76-ом году жизни от проблем с сердцем в одном из госпиталей Москвы. Прощание прошло 26 мая в ЦАТРА.Тело было кремировано 26 мая в крематории Николо-Архангельского кладбища Москвы. Похоронен на Ваганьковском кладбище Москвы, рядом с матерью.