Отец И. И. Боргмана — обрусевший еврей, уроженец Финляндии, мать — русская. Супруга — Аделаида Александровна Боргман. Дети: старший сын — И. И. Боргмана — Александр Иванович Боргман (1879—1942) — коллежский советник, преподавал в 3-м реальном училище и в Николаевском сиротском институте, историк России, проф. Петроградского университета.Младший сын — Боргман Иван Иванович (18831939) — надворный советник, чиновник особых поручений при министре торговли и промышленности, жена — Любовь Борисовна Боргман.
В советское время химик-органик, доцент Ленинградского планового института (ЛПИ), доцент Ленинградского химико-технологического института (ЛХТИ), репрессирован.ОбучениеОбучался во 2-й Санкт-Петербургской гимназии, после её окончания в 1866 году поступил в Санкт-Петербургский университет, на физико-математический факультет.Окончил курс со степенью кандидата в 1870 году, продолжил работу в университете для получения степени магистра физики.
В 1873 году Боргман отправился в Гейдельбергский университет, где слушал лекции и занимался в лаборатории Кирхгофа.
В 1875 году был назначен лаборантом в Санкт-Петербургский университет.
В 1877 году защитил диссертацию по теме «О гальваническом сопротивлении углей при различных температурах» , основанную на собственных опытах, и начал чтение лекций в качестве приват-доцента.Уже в следующем году защитил диссертацию «О влиянии среды на электродинамические явления и об определении функции намагничивания жидкостей» , получил степень магистра. Дальнейшие работы Боргмана также посвящены электричеству и магнетизму.Преподавательская деятельностьСтепень доктора И. И. Боргман получил в 1882 году после защиты диссертации «О нагревании железа при прерывчатом намагничивании» . Будучи профессором университета Боргман читал курсы почти по всем разделам физики (механика, оптика, электричество, термодинамика), совершенствовал систему преподавания и ведения практических занятий. Кроме того, Боргман читал лекции на высших женских курсах, на педагогических женских курсах (1876—1883) и в электротехническом институте. Технологический институт в Петербурге также считал Боргмана своим преподавателем по механической теории тепла и электротехнике.Боргман преподавал физику членам императорской семьи.
В январе 1883 года по 1886 год — наследнику престола, юному Николаю Александровичу.
В то же время начал преподавать великому князю Георгию Александровичу, окончил преподавание в 1890 году. После этого преподавал также великим княжнам Ксении Александровне и Ольге Александровне и великому князю Михаилу Александровичу.
С 1886 года в течение многих лет Боргман состоял редактором физической части «Журнала Русского физико-химического общества» .
В 1899 году Санкт-Петербургским электротехническим институтом удостоен звания Почётного инженера-электрика — в числе первых из всего 17-ти, кому оно было присвоено (с 1899 по 1903 гг.; среди них: Д. А. Лачинов, А. Н. Лодыгин, Н. Н. Бенардос, А. С. Попов, М. О. Доливо-Добровольский, К. Ф. Сименс).Деятельность в Русском физико-химическом обществеС 1875 по 1901 И. И. Боргман был редактором физического отдела вновь образованного в 1872 году «Журнала Русского физико-химического общества» (ЖРФХО, первый редактор — Д. К. Бобылёв), который был сформирован основе «Журнала Русского химического общества» (основан в 1869 году).
С 1931 года правопреемник физического отдела ЖРФХО — «Журнал экспериментальной и теоретической физики» (ЖЭТФ).Создание Физического институтаПод руководством Боргмана и по его планам в 1901 году при университете был создан Физический институт, удовлетворяющий самым передовым требованиям того времени. Здание Физического института стало первым в России, спроектированным специально для занятий физикой.Боргман стал первым директором вновь созданного института.
Он подарил институту бюсты Ньютона и Фарадея, ныне украшающие 308-ю аудиторию. Личное книжное собрание И. И. Боргмана дало начало библиотеке факультета.Последние годы жизниМогила И. И. Боргмана на Волковском кладбище ПетербургаВ 1905 году стал первым избранным ректором Петербургского университета, через пять лет (1910) в знак протеста против нарушения полицией прав студентов оставил эту должность.
С 1905 г. — член кадетской партии.
В 1906 году состоял членом Государственного совета от университетов.
В 1913 г. избран членом Петербургской городской думы.
В 1911 году удостоен почетной степени Doctor of Laws (L. L. D.) университета St. Andrews в Шотландии.17 мая 1914 года Иван Иванович Боргман скончался.