Алексей Алексеевич Биркун родился 7 февраля 1921 года в г. Белополье Сумской области Украинской ССР.
В 1952 году окончил Первый Московский государственный медицинский университет имени И. М. Сеченова. Заитересовался патологической анатомией в годы учебы в институте, работал в научном студенческом кружке у академика А. И. Струкова, на 6-м курсе прошел субординатуру на кафедре патологической анатомии под руководством академика А. И. Абрикосова.По окончании института поступил учиться в аспирантуру кафедры патологической анатомии Крымского мединститута.
В 1955 году защитил кандидатскую диссертацию на тему «Восстановительные процессы в легких после оперативных вмешательств на них (экспериментально-морфологическое исследование)» . Кандидат медицинских наук — с 1955 года.
В 1965 году защитил докторскую – на тему «Неспецифические процессы в легких при туберкулезе по данным морфологического исследования» (научный руководитель профессор Ирина Константиновна Есипова (1916-1997). Доктор медицинских наук — с 1966 года.
В разное время занимал должности: ассистент (1952–1961); доцент (1961–1967); ученый секретарь советов по присуждению ученой степени кандидата и доктора медицинских наук в Крымском медицинском университете (1961); профессор, зав. кафедрой патологической анатомии педиатрического факультета (1967–1987); профессор, зав. кафедрой патологической анатомии (1987–1988); профессор кафедры патологической анатомии (1988–2014).Алексей Алексеевич Биркун подготовил 17 кандидатов и 5 докторов медицинских наук;Область научных интересов: патология при туберкулезе легких, патология детского возраста, опухоли, врожденные пороки развития, заболевания желудочно-кишечного тракта, печени и поджелудочной железы, болезни глаз, женских половых органов и др. Его книга «Некоторые вопросы патологии легких» удостоена премии имени академика А. И. Абрикосова.Был также членом Президиума правления Украинского Республиканского и правления Крымского областного научных обществ патологоанатомов, членом Украинской Республиканской проблемной комиссии «Морфология человека» .А. А. Биркун скончался 1 декабря 2014 года в Симферополе, похоронен на кладбище «Абдал-1» Симферополя.