Родился в еврейской семье, его отец — крупный физиолог Юлиус Бернштейн[en], дед по отцу — Аарон Бернштейн — известный журналист и общественный деятель. Мать Феликса была талантливым музыкантом, играла на фортепиано и сочиняла музыку. Феликс был назван в честь композитора Феликса Мендельсона, так как его мать надеялась, что ее сын в будущем станет известным музыкантом.Ещё будучи учеником гимназии в Галле, Бернштейн посещал семинар Георга Кантора в местном университете (Кантор был другом отца Бернштейна). Закончив гимназию, Бернштейн с 1896 по 1900 годы учился в Мюнхене, Галле, Берлине и Гёттингене.
В 1903 году защитил диссертацию, с 1911 года работал в Гёттингенском университете. Примерно в это же время Феликс познакомился и подружился с Альбертом Энштейном.По окончании Первой мировой войны Бернштейн некоторое время был в Гёттингене вице-председателем Немецкой демократической партии: 118.
В 1921 году Бернштейн был назначен профессором Гёттингенского университета.
В 1928 году он преподавал в Гарварде (США) в качестве приглашённого профессора.
В 1933 году, после прихода к власти нацистов, Бернштейн был как еврей уволен со всех своих должностей. Поскольку в это время он совершал лекционный тур по Америке, Бернштейн решил остаться в США.
В 1948 году, после войны, Бернштейн вернулся в Европу.
Он в основном жил в Риме и Фрайбурге, испытывая сильную нужду. Умер в Цюрихе 3 декабря 1956 года. Бернштейн был разносторонним математиком, его труды относятся к теории множеств, теории чисел, теории тригонометрических рядов, теории интегральных уравнений, теории вероятностей и математической статистике.
Он доказал фундаментальную теорему Кантора — Бернштейна, внёс значительный вклад в изопериметрическую проблему, теорию преобразования Лапласа.
С 1920-х годов много занимался применением математических методов в биологии, исследуя задачи общей генетики, генетики популяций и теории наследственности.Бернштейн — основатель и (с 1921 по 1934 годы) директор Института математической статистики Гёттингенскогоуниверситета.
В 2014 года в Гёттингене состоялось открытие Института математической статистике в биологии имени Ф. Бернштейна.