Юрий Анатольевич Бережной родился в семье учёных. Его отец, Анатолий Семёнович Бережной, был известным химиком, академиком НАНУ.
В 1953 году Юрий поступил на ядерное отделение физико-математического факультета Харьковского университета и окончил его в 1958 году.
С 1958 года работал в теоретическом отделе УФТИ, которым в то время руководил А. И. Ахиезер. Научным руководителем Бережного стал А. Г. Ситенко, один из создателей дифракционной теории ядерных процессов.
В 1965 году Бережной защитил кандидатскую диссертацию.
В том же 1965 году Бережной начал читать лекции по теоретической ядерной физике в ХГУ.
В 1983 году он получил учёное звание профессора.
С 1979 по 2010 год он был заведующим кафедрой теоретической ядерной физике на физико-техническом факультете Харьковского университета.Бережной написал несколько монографий и учебников по квантовой механике и теории ядра. Три из них — совместно с академиком А. И. Ахиезером. Работая в ХФТИ и ХНУ, он подготовил 11 кандидатов наук.
В 2000 году, совместно с А. И. Ахиезером и Н. Ф. Шульгой, Бережной получил Премиею НАН Украины им. А. С. Давыдова.
В 2016 году, совместно со своими учениками Вадимом Михайлюком и Владимиром Пилипенко, он получил Премию им. К. Д. Синельникова за цикл работ «Теория дифракционных ядерных процессов» . Первые исследования Бережного, выполненные под руководством А. Г. Ситенко, развивали дифракционную модель ядерного рассеяния. Бережной рассчитывал дифракционное взаимодействие нуклонов и дейтронов с ядрами, учёл в своих расчётах несферичность ядрами. Именно эти результаты составили кандидатскую диссертацию Бережного.
В следующем десятилетии Бережной продолжил заниматься дифракционной теорией взаимодействия сложных частиц с ядрами.Бережной и его ученики А. П. Созник, М. В. Евланов, В. П. Вовенко и Н. А. Шляхов совместно получили новые результаты по дифракционной теории процессов с возбуждением коллективных состояний ядер мишени, развили теорию реакций передачи нуклона и реакций расщепления дейтрона, построили теоретические модели упругого и неупругого рассеяния дейтронов и протонов высоких энергий на основе теории многократного дифракционного рассеяния Глаубера-Ситенко.
В середине 1970-х годов Бережной начал применять дифракционную теорию для изучения поляризационных явлений при упругом и неупругом рассеянии нуклонов ядрами. Эти исследования он выполнял вместе со своими учениками А. П. Созником, Н. А. Шляховым, А. С. Молевым, Г. А. Хоменко.
В конце 1970-х и начале 1980-х годов Бережной выполнил работы по многочастичным реакциям с участием лёгких ядер совместно с экспериментаторами Н. Я. Руткевич и А. П. Ключаревым.
В этот же период Бережной и его ученик В. В. Пилипенко построили дифракционную теорию зарядово-обменных реакций с участием нуклонов и лёгких ядер. .
В начале 1980-х Бережной совместно с Пилипенко построили теорию рефракционных эффектов типа ядерной радуги при рассеянии лёгких ядер промежуточных энергий. Совместно с экспериментаторами из Харьковского университета Г. М. Онищенко и А. В. Кузниченко они одними из первых в СССР смогли измерить эти эффекты экспериментально. Для описания радужного рассеяния ядер в упругих и квазиупругих процессах Бережной развил формализм S-матриц.
Он предсказал эффект ядерной радуги в реакции перезарядки (3He,3H), и это предсказание позже было подтверждено экспериментально группой А. А. Оглоблина.Одновременно Бережной развивал микроскопическую теорию поляризационных явлений при упругом и неупругом рассеянии протонов высоких энергий ядрами на основе теории Глаубера-Ситенко. Бережной и его ученики Г. А Хоменко, А. П. Созник, В. В. Пилипенко, И. Н. Кудрявцев, А. С. Молев построили количественное описание полного набора спиновых наблюдаемых для таких процессов рассеяния, установили правила отбора и правила фаз для спиновых наблюдаемых и нашли связь между различными наблюдаемыми. Бережной вместе с В. В. Пилипенко, Г. А. Хоменко и В. П. Михайлюком исследовал влияние на процессы ядерного рассеяния кластеризации в лёгких ядрах и применил альфа-кластерную модель к описанию рассеяния на лёгких ядрах электронов, пи-мезонов, протонов и антипротонов.
В 1990-е годы Бережной снова занялся исследованием реакций с участием малонуклонных ядер с учётом их внутренней структуры. Бережной, Ахиезер, Созник и В. А. Слипко совместно создали теорию реакций однонуклонной и двухнуклонной передачи и реакций срыва с участием трёхнуклонных ядер в области промежуточных энергий. Позже Бережной и В. А. Слипко обобщили эту теорию для учёта поляризации нуклонов, испускаеемых в реакции срыва. Бережной вместе с В. Ю. Кордой создали общую теорию дифракционных процессов с участием двухнуклонных ядер, трёхнуклонных ядер и кластерных ядер лития, учитывающую поверхностное преломление рассеиваемых волн и размытие поверхности ядра-мишени.Кроме ядерной физики, Бережной с 1980-х годов публикует статьи по истории физики и философии науки, обсуждая в них философские аспекты теории элементарных частиц и квантовой механики, гносеологию.
Он является членом совета по защите докторских диссертаций по философии. Также Бережной автор ряда научно-популярных статей и статей по методике преподавания физики в университете и в средней школе.