Родился 30 июня (11 июля) 1752 года в саксонском городке Триптисе, где отец его был пастором.
С 10 лет был воспитанником школы Фомы Аквитанского в Лейпциге; дальнейшее образование получил на юридическом факультете Лейпцигского университета (1769—1773). Приехав осенью 1773 года в Россию, Баузе сначала давал частные уроки: работал домашним учителем в доме купца Круга; летом 1775 года ему предложили должность учителя в Петровском училище при лютеранском приходе Святых Апостолов Петра и Павла. Баузе преподавал в училище географию, историю и латинский язык; спустя некоторое время он стал его инспектором.
В 1780 году в течение года он находился в Германии.
В апреле 1781 года стал членом Вольного экономического общества. Осенью 1782 года по приглашению Московского университета переехал в Москву и занял место профессора права в университете. Его вступление на кафедру юриспруденции ознаменовалось торжественной речью, произнесённой на латыни 25 ноября 1782 года, в день тезоименитства императрицы Екатерины II: «Oratio de jurisprudentia ejusque docendae et discendae ratione professionis juridicae» .
В Москве Баузе стал членом Дружеского учёного общества.Масон, член московской ложи Трёх знамён.
В 1783 году Баузе, по не вполне ясным причинам, был вынужден уволиться из Московского университета и уехать в Германию, но спустя 3 года, в 1786 году он возвратился в Россию и занял свою прежнюю должность в Московском университете, начав преподавание с 1787 года на философском факультете энциклопедии, истории и курса метода наук и художеств. Со следующего учебного года он стал читать студентам юридического факультета курс юридической энциклопедии.
С 1791 года он стал преподавать на юридическом факультете римское право (сначала по Гейнекцию и Генферу, затем по Шмальцу, историю же римского права - по Баху).
В 1792 году женился на вдове аптекаря Калькау, а впоследствии, овдовев, — на одной из дочерей Керестури.
В первые годы XIX века Баузе преподавал в Московском университете, помимо юриспруденции, также историю русской словесности, историю дипломатии, нумизматику.
В 1803 году, на срок до введения в действие нового Университетского устава, Ф. Г. Баузе стал первым официальным деканом юридического факультета Московского университета.
В июне 1805 года Баузе был избран деканом нравственно-политического отделения московского университета, а 13 июля 1807 года был утверждён в должности ректора университета. Ректор Московского университета (1807—1808).
В 1804—1809 годах Баузе был также директором Педагогического института при Московском университете, читая здесь курс педагогических и дидактических правил.Ф. Г. Баузе также был членом Комитета по разработке дополнений в уставы Академии наук и Московского университета (1802) и членом Главного правления училищ, почётным членом МОИП (с 1805), почётным членом Харьковского университета (с 1809).21 января 1811 года Ф. Г. Баузе, после 25-летней службы, был уволен в отставку с полной пенсией и почетом. (Биографическая статья в «Фонде знаний „Ломоносов“» указывая на письма попечителя Московского университета П. И. Голенищева-Кутузова к А. К. Разумовскому, неверно называет пьянство причиной отставки. В. А. Томсинов со ссылкой на источник (Васильчиков А. Семейство Разумовских. — СПб., 1880. — Т. 2. — С. 303, 307) приводит два фрагмента писем: 4 июля 1810 года: «…Почитаю предварить ваше сиятельство, что в непродолжительном времени я должен буду сделать представление об увольнении от службы профессоров Баузе и Барсука-Моисеева, кои из пределов всякой благопристойности вышли. Первый дома пьет мертвую чашу и разные производит в университете сцены, кои мирить и успокаивать весьма трудно» ;14 июля 1810 года: «Сделайте милость, ваше сиятельство, наставьте меня, что делать с Баузе и с Барсуком-Моисеевым Я тем более в недоумении, что просьб об увольнении подавать они и не помышляют, а истории с ними в самом крайнем градусе неистовства продолжаются» ).