Родился 10 февраля 1937 года в Ленинграде. Отец — выходец из крестьян Тверской губернии, мать — родом из Винницы.
В 1954 г. окончил среднюю школу с золотой медалью и поступил на математико-механический факультет Ленинградского государственного университета (ЛГУ) .
В 1959 г. с отличием окончил ЛГУ и был принят в аспирантуру, по окончании которой последовательно работал в качестве ассистента, доцента и — до настоящего времени — профессора. Параллельно с работой в ЛГУ с 1977 года в течение 15 лет заведовал кафедрой высшей математики в ЛЭТИ им. В. И. Ульянова (Ленина).
С 2002 по 2010 гг. — заведующий лабораторией продуктивного обучения Института содержания и методов обучения РАО, с 2011 г. — заведующий лабораторией продуктивной педагогики Института педагогического образования и образования взрослых РАО.
В 1993 г. избран действительным членом Российской Академии образования (РАО).
В 2013 г. М. А. Башмакову за комплект учебников «Математика для всех» присуждена Премия Правительства Российской Федерации в области образования и присвоено звание «Лауреат премии Правительства Российской Федерации в области образования» .