Антон Барщевский родился в 1968 году в Москве в семье Булычева Юрия Михайловича и Виолиной Натальи Владимировны.
В кинематографе — с 1987 года.
В 1990 году окончил операторский факультет ВГИК.
С 1996 — представитель Фонда исторических видеодокументов Стивена Спилберга «Пережившие Холокост» , а также продюсер съёмок, которые происходили в рамках этого проекта на территории стран бывшего СССР.
В 1996—1997 — генеральный директор Фестиваля студенческих фильмов «Святая Анна» .
С 1997 года возглавлял компанию «Фильм Юнион» .За сериал «Тяжёлый песок» А. Барщевский был награждён Гран-При Международного кинофестиваля в Марбелье и российской кинематографической премией «Золотой орёл» .Умер во время отпуска в результате остановки сердца. Похоронен 2 июля 2010 года на Троекуровском кладбище Москвы.