Родился 10 января 1929 года в г. Батуми (Аджарская АРСР).
В 1953 г. окончил Харьковский государственный театральный институт (мастерская народного артиста УССР Л. Дубовика, начал работать в Днепропетровском областном украинском передвижном театре на должности режиссёра-постановщика.
В 1956—1962 гг. — главный режиссёр Львовского театра юного зрителя им. М.Горького.
В 1962—1964 гг. — главный режиссёр Одесского театра оперетты. Позже (1964—1970 гг.) режиссёр республиканского Киевского театра юного зрителя.
На сцене этого театра поставил ряд спектаклей, которые были высоко оценены общественностью и прессой, а поставленный А. С. Барсегяном в 1964 году спектакль «Молодая гвардия» А. Фадеева отмечен премией Ленинского Комсомола.
С 1970 по 1973 года возглавлял Киевский театр оперетты.
С 1975 г. — главный режиссёр Харьковского государственного академического русского драматического театра им. А.Пушкина.
С 1979 г. — заведующий кафедрой режиссуры Харьковского института искусств им. И.Котляревского.
С 1983 г. — главный режиссёр — директор Харьковского театра им. А.Пушкина.
На его сцене А. С. Барсегян осуществил постановки более 80-ти украинской, российской, а также мировой современной и классической драматургии.
В течение многих лет объединял творческую работу в театре с педагогической деятельностью. Руководил актёрской студией Киевского театра оперетты, был руководителем курса, а затем заведующим кафедрой режиссуры Харьковского института искусств им. И. П. Котляревского. Многие воспитанники А. С. Барсегяна работают в ведущих театрах Украины и за её пределами.Активный общественный деятель, заместитель председателя Харьковского межобластного правления Союза театральных деятелей Украины.