Представитель богатого дворянского рода Бакуниных. Сын тайного советника, члена Коллегии иностранных дел Петра Васильевича Бакунина-меньшого, от брака с Анной Сергеевной Татищевой, тёткой Д. П. Татищева. Получил прекрасное образование. Службу начал в Коллегии иностранных дел, в 1789 году был уже титулярным советником.
В 18 лет был назначен вице-директором, в 1794 году — директором Академии наук, после того как его двоюродная тётка Е. Р. Дашкова для поправки своего расстроенного здоровья получила двухлетний отпуск. За время руководства Бакуниным в академии было сделано много. Довольно часто между Бакуниным и академиками возникали конфликты.
На одном из заседаний он в довольно резкой форме потребовал, чтобы академики докладывали канцелярии о причинах отсутствия на собраниях и в каждом протоколе отмечали имена отсутствующих с указанием причины, что было расценено академиками как презрение к академическому корпусу.Бакунин был очень часто недоволен сроками выполнения академиками каких-то работ: так, он потребовал объяснения причин неустановки большого стенного квадранта, закупленного ещё в 1751 году, чем вызвал новое возмущение академиков, — они объясняли невыполнение работ тем, что обращение с данным инструментом требует особой осторожности, и по этой причине он не может быть быстро смонтирован.Бакунин, недовольный работой академического музея, приказал Н. Я. Озерецковскому,И. Г. Георги и В. М. Севергину провести ревизию музея и для этого ежедневно бывать там.Часто возникали трения между директором и конференцией по поводу регламента. Академики, привыкшие к самостоятельности и самоуправлению, что, кстати, было декларировано в учредительных документах, подписанных Петром I иЕлизаветой Петровной, довольно активно противостояли директору, вынуждая его иногда даже покидать заседания, жаловаться императору. Сенат был вынужден издать указ, предписывающий директору академии и советникам не выходить за рамки своих полномочий и не вмешиваться в дела академической конференции.Всё это привело к тому, что Бакунин подал прошение об отставке и указом Павла I от 14 апреля 1798 года был освобождён от управления Академией наук.
В 1797 году стал камергером и действительным статским советником. После службы в Академии наук он возвратился в Коллегию иностранных дел.
В 1802 году был посланником в Англии. Рано умер, не успев издать ни одного труда.Бакунин был управляющим Российской академии в 1796—1801 годах. Некоторые источники со ссылкой на Половцова ошибочно сообщают, что президентом Российской академии был в этот период отец Павла Петровича Бакунина — Пётр Васильевич Бакунин, член государственной коллегии иностранных дел (П. В. Бакунин к этому времени скончался).