Борис Аблынин в 1949 году окончил Театральное училище им. Б. Щукина.
С 1958 года был режиссёром в Центральном театре кукол под руководством Сергея Образцова.
В 1961 году поставил в Пермском театре кукол спектакль «Клоп» по В. Маяковскому.
В 1962 году Аблынин стал главным режиссёром в Московском театре кукол.
В 1968 году создал при театре студию «Жаворонок» . Дипломной работой стал спектакль по пьесе Ж. Ануйя «Жаворонок» , давший название театру-студии. Его официальное открытие состоялось на сцене Московского театра «Современник» в феврале 1968 года. Поставил в театре «Войну с саламандрами» К. Чапека, а также спектакли «Я счастливый парень» , «Иван — крестьянский сын» , «Спридит» , «Великий лягушонок» .
В 1972 году, после закрытия театра-студии «Жаворонок» , Аблынин ушёл в мультипликационное кино.
С 1975 года работал в качестве режиссёра на киностудии «Союзмультфильм» . Поставил ряд кукольных мультфильмов и картин с участием театральных кукол.Ставил кукольные спектакли в Рижском театре кукол (Государственный театр кукол Латвийской ССР).