Родился в Восточной Пруссии в еврейской семье Йозефа Самуила Асканази и Нанни Асканази (урождённой Ашкенази). Окончив в 1890 году Кёнигсбергский университет, Асканази в 1893 году стал в качестве приват-доцента читать лекции по патологии. Несмотря на выдающиеся работы, Асканази не мог добиться в Германии звания профессора и переселился в 1905 году в Женеву, где ему было предложено занять пост директора Патологического института. Вместе с тем он получил и профессуру в Женевском университете.Жена (с 1919 года) — Штефани Герштл (нем. Stefanie Elisabeth Maria Gerstl, 1885, Вена—).