Шушаник Арутюновна Апоян родилась 17 октября 1923 года в Ереване.Окончила Ереванскую музыкальную школу имени А. Спендиарова.
В 1947 году окончила Ереванскую государственную консерваторию по классу фортепиано Роберта Xристофоровича Андриасяна, в 1948 году — историко-теоретический факультет по классу Георгия Григорьевича Тигранова. Прошла аспирантское обучение в Институте искусств Академии наук Армянской ССР (1949—1952) и в Ленинградской государственной консерватории имени Н. А. Римского-Корсакова (1953—1955) под руководством профессора Льва Ароновича Баренбойма.
В 1947—1953 и 1955—1980 годах Шушаник Апоян преподавала фортепиано в Ереванской музыкальной профессиональной школе имени П. И. Чайковского.
В 1953—1955 годах преподавала фортепиано в Ленинградской музыкальной школе имени Н. А. Римского-Корсакова, а в 1955—1962 годах преподавала методику обучения игре на фортепиано в Ереванском музыкальном училище имени Р. О. Меликяна.
С 1960 года член Союза композиторов СССР.
В 1961 году защитила диссертацию на соискание ученой степени кандидата искусствоведения на тему «Армянская фортепианная музыка» .Шушаник Апоян с 1957 года в Ереванской государственной консерватории вела курс истории и теории пианизма, с 1962 года также курс методики обучения игре на фортепиано, с 1970 года доцент, с 1987 года — профессор.
В течение многих лет Апоян руководила отделом педагогической практики консерватории.
В 1980—1990 годах являлась заведующей кафедрой истории и теории исполнительского искусства Ереванской государственной консерватории, которую организовала на базе существующей до этого секции при кафедре специального фортепиано.
В 2006—2015 годах являлась профессором-консультантом Ереванской государственной консерватории.Шушаник Арутюновна Апоян — автор нескольких монографий и многочисленных научных статей.
Она участвовала и имела выступления на разных конференциях в Ленинграде, в Москве, в Тбилиси и в Ереване. Составила сборник педагогических фортепианных пьес армянских композиторов (совместно с Ш. О. Бабаян, Ереван, 1983) и сборник детских пьес армянских композиторов (совместно с Е. А. Абаджян, Москва, 1972).Шушаник Арутюновна Апоян скончалась 9 октября 2015 года в Ереване, на 92-ом году жизни.