Марина Алексеева родилась 4 июня 1931 года в Москве.
В 1948 году поступила в Музыкальное училище при Московской консерватории на вокальное отделение, прослушивалась у Антонины Васильевны Неждановой, от которой получила одобрительный отзыв.
В течение трёх лет занималась в классе Мирзоевой Марии Моисеевны, и, не окончив училища, продолжила обучение в Московской консерватории у неё же до 1957 года. Алексеева посвятила Мирзоевой М. М. «Вокализы для высокого голоса» , изданные в Москве в 1975 году.
С 1960 года солистка «Москонцерта» . Репертуар её концертов составляли редко исполняемые произведения отечественных и зарубежных композиторов, песни народов мира и тематические концерты: «Русская музыка» , «Песни народов СССР» , «Немецкая музыка» , «Французская музыка» , «Итальянская музыка» и другие. Гастролировала во многихгородах СССР и за рубежом (Германия, Италия).
С 1981 года преподаёт в Музыкальном училище при Московской консерватории, с 1996 года работает на кафедре сольного пения в Московской консерватории. Среди её учениц — солистка Большого театра и обладательница многих премий, оперная певица Екатерина Николаевна Щербаченко.
С 1995 г. — доцент, с 2004 г. — профессор.