В 1916 году он окончил с отличием Константиновский межевой институт по специальности «геодезия» .
В 1916—1918 годах — инженер строительных отрядов, затем вольноопределяющийся в Русской армии с прикомандированием к фотограмметрическому отряду Полевого управления авиации и воздухоплавания; затем — инженер Курского земельного отдела.Постановлением совета Московского межевого института (ММИ, бывшего Константиновского) 18 сентября 1918 года он был зачислен в штат института на должность ассистента.
С 1 октября 1920 Н. М. Алексапольский был избран на должность доцента по геодезии и фотограмметрии и начал чтение курсов аэрофотосъемки и фотограмметрии на геодезическом отделении института, а с 1921 — на геодезическом факультете Военно-инженерной академии (ВИА).
С 15 октября 1924 года приказом Реввоенсовета СССР в ВИА был закрыт геодезический факультет, а в ММИ было организовано военно-геодезическое отделение на правах факультета, на котором подготавливались военные геодезисты — Алексапольский вёл занятия одновременно на гражданском и военном отделениях.Преподавание фотограмметрии было ориентировано в первую очередь на создание топографических карт.
В связи с этим в конце 1924 года Центральная штатная комиссия РКИ признала своевременным создание в ММИ специализации фототопография.24 апреля 1925 года Н. М. Алексапольского избрали на должность профессора по фотограмметрии, а уже 25 апреля назначили на эту должность приказом по ММИ.
В этом же году он сформировал кафедру. Первыми преподавателями новой кафедры, кроме Н. М. Алексапольского, были сотрудники Государственного технического бюро «Аэрофотосъёмка» , которое на коммерческой основе вело аэросъёмочные и фотограмметрические работы для нужд государственного хозяйства.
В июле 1925 года в районе Можайска для приобретения практического опыта под руководством Н. М. Алексапольского, заведовавшего в эти годы геодезическим сектором аэрофотосъёмочного отдела «Добролёта» , была проведена первая опытная аэрофотосъёмка в картографических целях. Её задачей был поиск наилучших методик использования контурно-комбинированной съёмки для создания карт по аэрофотоснимкам. Результаты проведенных работ показали большое преимущество аэрофотограмметрических методов съёмки перед полевой съёмкой.
В 1926 году при кафедре фотограмметрии была создана лаборатория аэрофотосъёмки, а на геодезическом отделении Московского межевого института началось обучение студентов по специализации «аэрофототопография» .
В этом же году на военно-геодезическом отделении была организована специализация по фотограмметрии.
В 1928 Н. М. Алексапольский совместно с Ф. В. Дробышевым впервые в СССР выполнили работы по построению сетей плановой графической фототриангуляции.
В 1929 в Московском межевом институте был выпущен сборник переводных статей по наземной стереофотограмметрической съемке под редакцией Н. М. Алексапольского.
В 1930 в своей книге «Курс геодезии» , изданной под редакцией Ф. Н. Красовского, Н. М. Алексапольский в отделе «Фототопография» поместил раздел о наземной стереофотограмметрической съёмке.
В 1930 и 1931 годах в Ленинграде проходили Всесоюзные совещания по аэрофотосъемке, в которых вместе с Алексапольским приняли участие и другие преподаватели его кафедры: В. С. Цвет-Колядинский, Ф. В. Дробышев, Н. Н. Веселовский, А. И. Сухов, М. С. Муравьёв.
В 1930 году при разделе ММИ и формировании Московского геодезического института Алексапольский остался на должности заведующего кафедрой и руководил ею официально до октября 1932 года, а фактически до 1933 года.
В октябре 1932 года в связи с переводом военного отделения из МГИ в ВИА Алексапольского назначили начальником кафедры фотограмметрии в академии, но он не прекратил педагогической деятельности в МГИ.Демобилизовавшись по состоянию здоровья, Н. М. Алексапольский с сентября 1939 года перешёл на кафедру фотограмметрии института на постоянную работу.
В апреле 1942 года Алексапольского назначили заведующим объединённой кафедрой фотограмметрии и аэросъёмки, но в декабре 1942 по его просьбе в связи с состоянием здоровья он был освобождён от заведования кафедрой.
В 1946 году Н. М. Алексапольскому было присвоено учёное звание профессора по кафедре фотограмметрии, а в 1948 — почётное звание «Заслуженный деятель науки и техники РСФСР» .
В общей сложности Николай Михайлович проработал на своей кафедре 37 лет.Похоронен на Введенском кладбище в Москве (12-й участок).