Евгений Акулов родился 7 (20) августа 1905 года в городе Сморгонь (ныне Гродненская область). Учился в Музыкальном техникуме им. Гнесиных по классам фортепьяно Е. Ф. Гнесиной и композиции М. Ф. Гнесина и Р. М. Глиэра.
В 1931 году окончил Московскую консерваторию по классу дирижирования К. С. Сараджева.
В 1930 году стал ассистентом дирижёра, затем дирижёром Большого театра в Москве.
В 1937—1938 главный дирижёр Белорусского театра оперы и балета в Минске.
В 1938—1949 годах работал главным дирижёром и заведующим музыкальной частью Музыкального театра им. В. И. Немировича-Данченко (с 1941 года Московский академический музыкальный театр имени К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко).
В 1946—1955 годы руководил оперным и оркестровым классами в Музыкально-педагогическом институте им. Гнесиных.
С 1950 года дирижировал оркестрами Радио.
В 1962—1964 годах был художественным руководителем оперно-симфонического оркестра.
С 1950 года преподавал в ГИТИСе специальный новый курс «Анализ музыкальной драматургии» для режиссёров музыкальных театров, с 1960 года — профессор.
В 1952—1964 годах дирижёр-руководитель стажёрской группы Большого театра.Похоронен на Троекуровском кладбище.