Клубная карьераНачал играть в футбол в дворовых командах, первым тренером был Валерий Николаевич Соловьёв, затем — Василий Тихонович Никитин.
В 1971 году был приглашён в симферопольскую «Таврию» , которая в то время выступала во второй лиге СССР.
В своём дебютном сезоне провёл за команду тринадцать матчей, забил два гола.
В 1973 году Аджем вместе с симферопольским клубом стал победителем первой зоны второй лиги СССР и вышел в финальный турнир, в котором разыгрывалось право на повышение в классе.
В финале, который проходил в Сочи, «Таврия» заняла второе место и следующий сезон начала в первой лиге.
В 1976 году перешёл в московское «Торпедо» , однако надолго там не задержался и уже через полгода вернулся в «Таврию» , за которую выступал до 1978 года.
В 1979 году перешёл в ЦСКА.
В составе армейцев провёл 107 матчей и забил девять голов.
В 1980—1981 годах был капитаном клуба.После матча 13 августа 1981 на выезде с «Днепром» был обвинен главным тренером ЦСКА Олегом Базилевичем в «нежелании отстаивать честь клуба» .
В начале сентября 1981 вышел приказ Спорткомитета СССР, в котором ряд футболистов высшей лиги был обвинен в «нарушении морально-этических норм, в пренебрежении интересами коллективов и в безответственном отношении к повышению своего спортивного мастерства» . Примечательно, что за две недели до этого Базилевич, по воспоминаниям Аджема, «говорил, что я вышел на европейский уровень и меня надо рекомендовать в сборную» . Все перечисленные в приказе футболисты были дисквалифицированы (без указания срока), а Юрий Аджем был лишён звания Мастер спорта СССР международного класса..mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote{float: none;padding: 0.25em 1em;border: thin solid #eaecf0}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-source{margin: 1em 0 0 5%;font-size: 105%}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq{margin: 0 -1em -0.25em}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq .NavFrame{padding: 0}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq .NavHead,.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq .NavContent{padding-left: 1.052632em;padding-right: 1.052632em}«В ЦК партии могли распоряжаться судьбами людей направо и налево.
И самое главное — бесконтрольно, не было никаких заседаний, когда меня дисквалифицировали. Всё решили Базилевич, Сыч (заместитель председателя Спорткомитета СССР. — Ред.) и Русак (инструктор отдела пропаганды ЦК КПСС. — Ред.). Все так преподнесли, что я такой-сякой капитан команды, мол, сдал игру в Днепропетровске. Бред!Когда я встретил Базилевича, спросил, чем он мотивировал мое отчисление из команды Он начал юлить: у нас есть молодые ребята, которые играют на твоей позиции. Хорошо, говорю, вопросов нет, но при чем здесь дисквалификация Он: «Какая дисквалификация Тут многие говорят, что Базилевича снимают, но я же в это не верю» . Понимаете, какой человек» ..mw-parser-output .ts-Конец_цитаты-source{margin: 0.357143em 2em 0 0;text-align: right}При содействии Маршала Советского Союза Сергея Соколова и Александра Тарханова, заменившего Аджема на посту капитана команды, срок дисквалификации продлился только год, а звание Мастера спорта международного класса — возвращено. 3 сентября 1982 Базилевич был уволен, а 25 сентября в гостевом матче с «Торпедо» (Москва) Аджем вновь вышел на поле в основе ЦСКА. Всего в сезоне 1982 года Аджем провёл 6 игр.Проведя в ЦСКА ещё и сезон 1983, Аджем отправился в расположение группы советских войск в Германии.
В период с 1984 по 1990 играл за немецкие клубы в третьем дивизионе чемпионата ГДР.
В 1994 году начал тренерскую карьеру. Тренировал ЦСКА (1994—1996), тульский «Арсенал» (1999), новороссийский «Черноморец» (2000—2001), «Ростсельмаш» (2001—2002), позже вернулся в ЦСКА, где с 2003 до 2008, а также в 2009—2010 годах тренировал дубль армейцев.Карьера в сборнойВ составе молодёжной сборной СССР в 1976 и 1980 годах становился победителем молодёжного чемпионата Европы. За основную сборную СССР провёл четыре матча в 1979 году. Дебютировал 28 марта 1979 года в игре против сборной Болгарии.Стиль игрыФизически развитый,работоспособный футболист универсального плана. Выделялся хорошей технической подгтовкой, умелой позиционной игрой, владел сильным ударом.— Энциклопедия «Российский футбол за 100 лет» . Октябрь 1997 года.