Родился в Лэнисте, близ Лэнстана, в Корнуолле. Ещё в детстве он проявил исключительные для его возраста математические способности и в 1831 году родители послали его учиться в частную школу в Девонпорт, известную высоким уровнем преподавания: 86. Прошёл университетский курс в Кембридже, в 1841 году держал экзамен на магистра.
В январе 1843 года на ежегодном математическом конкурсе в Кембридже Адамс стал первым призёром, опередившим следующего за ним второго призёра на 2000 очков: он «заработал» 4000 очков, а второй — 2000.
Это небывалый ранее случай на подобных конкурсах. Как первый призёр конкурса Адамс становится членом научного совета колледжа Сент Джона: 87.
В июле 1841 года Адамс записал в своём дневнике: .mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote{float: none;padding: 0.25em 1em;border: thin solid #eaecf0}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-source{margin: 1em 0 0 5%;font-size: 105%}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq{margin: 0 -1em -0.25em}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq .NavFrame{padding: 0}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq .NavHead,.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq .NavContent{padding-left: 1.052632em;padding-right: 1.052632em}Принял решение… приступить как можно скорее после получения степени к исследованию неправильностей в движении Урана, которые ещё до сих пор не объяснены. Моя цель — установить, можно ли их приписать действию не обнаруженной ещё планеты за Ураном, определить приближенно элементы её орбиты и пр., что приведет, вероятно, к открытию планеты. .mw-parser-output .ts-Конец_цитаты-source{margin: 0.357143em 2em 0 0;text-align: right}— Цит. по: : 86Всего, начиная с лета 1843 года до сентября 1845 года, Адамс получил 6 решений, из которых каждое следующее считал точнее предыдущего.
В сентябре 1845 года Адамс передал вычисленные им элементы орбиты неизвестной планеты Чэллису, а тот — королевскому астроному Эйри. Оказалось, что Чаллис в августе не раз наблюдал эту планету, не придавая этому значения, но он и Эйри обратили внимание на труды Адамса в то время, когда уже упомянутая планета была открыта в Берлине, Галле, по указанию Леверье. О первенстве открытия между английскими и французскими астрономами возник спор, решённый в пользу Леверье.Адамс, пробыв много лет преподавателем при Кембриджском университете, в 1858 году сделан профессором астрономии. Большинство его сочинений находится в записках обществ Астрономического и Королевского в Лондоне. Сочинение о возмущениях в движении Урана в 1847 году издано отдельной рукописью; в 1851 году напечатано в «Nautical Almanach» под названием «The observed irregularities in the motion of Uranus» .Его наиболее известным достижением было предсказание существования и положения в пространстве Нептуна при помощи одной лишь математики (планета, открытая «на кончике пера» ). Расчёты были проведены для объяснения отклонений в орбите Урана от законов Кеплера и Ньютона.Независимо от него такие же расчёты проделал Урбен Леверье.
В 1846 году Иоганн Галле по указаниям, полученным от Леверье, обнаружил Нептун.Был президентом Королевского астрономического общества.
На протяжении многих лет Адамс занимался вопросами численного интегрирования дифференциальных уравнений: 153, в его честь назван разработанный им «метод Адамса» в теории дифференциальных уравнений.
В честь Джона Адамса и двух его астрономов-однофамильцев назван кратер на Луне.Кембриджским университетом учреждена и вручается премия Адамса (англ. Adams Prize).