Анатолий родился 18 июня 1955 года в Ульяновске в семье военного. Вскоре семья переезжает в Москву. После окончания школы Анатолий поступил в Гидромелиоративный институт, но проучился там только три года.
В 1976 году Абрамов был приглашён в музыкальную группу «Аракс» при театре Ленком. Анатолий Абрамов участвовал в выпуске музыкальных спектаклей «Автоград XXI» , «Звезда и смерть Хоакина Мурьетты» , «Варвар и еретик» , «Люди и птицы» , «Юнона и Авось» , «Королевские игры» , «Женитьба» , «Шут Балакирев» .
В 1978 Анатолий Абрамов был удостоен звания лауреата Международного конкурса «Соколово-1978» за участие в исполнении триптиха композитора Алексея Рыбникова.
В 2002 году Анатолию присвоено звание Заслуженного артиста России.
В течение своей музыкальной карьеры Анатолий пользовался практически всеми известными марками как барабанов (Pearl, Tama, Amati), так и тарелок (Zildjian, Sabian, Paiste). Эндорсер барабанных палочек «Leonty» .Женат, воспитывает сына и дочь.