Александр Вознесенский родился в деревне Головкино Новосильского уезда Тульской губернии, детство провёл в Черни.
В 1917 году поступил в Петроградский историко-филологический институт, в 1921 году перешёл на факультет общественных наук университета, который окончил в 1923 году. Вскоре начал преподавать, а в 1927 году вступил в ВКП(б).Список научных работ А. А. Вознесенского невелик, опубликованы они были до середины 1930-х годов, в основном они относятся к разработке теоретико-методологических проблем политической экономии. Учебные и публичные лекции А. А. Вознесенского пользовались популярностью благодаря его ораторским способностям.
В 1940 году в ЛГУ был создан политико-экономический факультет, деканом которого стал Вознесенский.
На следующий год был назначен ректором университета и оставался им до 1947 года. Уже 21 августа 1941 года он возглавил «тройку» по обороне учебного заведения, а весной 1942 года организовал его эвакуацию в Саратов, где по совместительству исполнял обязанности ректора СГУ. Весной 1943 года Вознесенский выступил с докладом «О задачах, характере и перспективах университетского образования» .
В 1944 году были подписаны смета на ремонт университетских зданий и приказ о создании штаба восстановительных работ. После войны учёный продолжил административную деятельность, за короткое время создав 4 факультета, 12 НИИ, более 40 кафедр, научные вестник и общество.
В 1947 году Вознесенский был избран депутатом Верховного совета СССР, в 1948 году назначен министром просвещения РСФСР (1948—1949).19 августа 1949 года был арестован по обвинению в измене Родине, участии в контрреволюционной организации и антисоветской агитации (Ленинградское дело). Осуждён и расстрелян в 1950 году. Реабилитирован 14 мая 1954 года.