В юности занимался греко-римской борьбой, был чемпионом Эстонии в весе «пера» , в 18 лет занял четвёртое место на чемпионате мира[источник не указан 827 дней]. Как футболист выступал за эстонские команды «Спорт» и «Спартак» .
В 1927 году играл за Ференцварош (Будапешт).Рано завершив карьеру футболиста, Вольрат работал главным массажистом в сборной Венгрии на Олимпийских играх в Амстердаме. Работал в тренерском штабе сильных европейских клубов «Ференцвароша» , Барселоны и лондонского «Арсенала» . По возвращении в Эстонию некоторое время занимался гостиничным бизнесом, но после вхождения республики в состав СССР собственность Вольрата была национализирована.
В 1940-е годы Альберт Вольрат успешно работал в московском «Спартаке» . При нём в 1946-47 гг. команда дважды выиграла Кубок СССР. Одним из первых специалистов в советском футболе ввёл интенсивные физические нагрузки. Вольрат уделял большое внимание культуре паса и занимался поиском талантливых футболистов среди молодёжи. Футболистам и любителям футбола запомнился интеллигентной «европейской» манерой общения.После ухода из «Спартака» работал в командах из Эстонской ССР.