Родился 20 мая 1950 года в Москве.Окончил Московский государственный институт иностранных языков имени Мориса Тореза, где английский язык преподавал его отец. Мать всю жизнь работала учителем немецкого языка в школе. Владеет английским, французским, испанским и итальянским языками.
В 1998 году в эфире телепередачи «Тема» , а затем В. Р. Соловьёву в передаче «Страсти по Соловьёву» Володарский рассказал, что английский язык начал учить в возрасте 4 лет.Работал в Институте Африки АН СССР, затем в Институте международного рабочего движения АН СССР.
В юности дважды сломал нос (авария и драка), из-за чего имеет характерные особенности голоса, в связи с чем о Леониде Володарском сложилось мнение как о «переводчике с прищепкой на носу» (в связи с этим также ходила легенда, что голос искажался специально, дабы избежать репрессий со стороны КГБ, хотя вероятность узнаваемости по голосу крайне мала).