В 1920—1926 гг. изучал германскую филологию, скандинавские языки и литературу в Венском университете.
С 1928 года преподавал там же шведский язык. Сотрудничал в Исследовательском обществе германского Юго-Востока (Sudostdeutschen Forschungsgemeinschaft) этнологического музея в Вене.1 июня 1932 года вступил в НСДАП (членский билет № 1 088 974). Работал корреспондентом для шведских газет, в том числе «Nya Daglig Allemanda» , в которых освещал события, происходящие в Австрии, с национал-социалистической точки зрения. Был председателем германо-шведского объединения «Svea» .
В 1936 г. защитил докторскую диссертацию на тему «Танцы с мечами и мужские союзы» .
В 1937 году стал работать в антисемитском «Объединении фольклористики» .
С лета 1938 года — руководитель учебно-исследовательского отдела немецкой фольклористики Аненербе.
С июня 1939 года — экстраординарный профессор на кафедре немецкого фольклора Венского университета. Также занимался музыковедением — особой сферой интереса Вольфрама были германские танцы с мечами (см. шотландский аналог) как олицетворение нордических германских мужских союзов.Танцы представляются в качестве скрытых меняющихся образов, которые посредством своей бьющей через край силы содействуют жизни и развитию".Рихард ВольфрамВ 1940—1941 и в 1944 гг. — руководитель рабочей группы по обычаям и народным поверьям «Комиссии по культуре» в Южном Тироле.
С августа 1942 года — сотрудник научного управления представительства Аненербе в Осло (Auenstelle Oslo). Занимался поиском и присвоением культурных ценностей.
С 1943 года входил в Личный штаб рейхсфюрера СС.
В июле 1944 года находился в Норвегии с особым поручением по исследованию скандинавского фольклора.
В 1945 году Вольфраму было временно запрещено работать по профессии.
В 1954 году вернулся к преподаванию, в 1959 году восстановился в звании экстраординарного профессора.
С 1961 года — директор Института фольклора Венского университета.
С 1963 года — ординарный профессор австрийского и европейского фольклора.
В 1985 году в Зальцбургском университете был создан «Исследовательский институт Рихарда Вольфрама» (Richard-Wolfram-Forschungsstelle).