В 1975 году окончил физико-математическую школу при МГУ им. М. В. Ломоносова, созданную университетом для особо одаренных детей (ФМШ 18).
В 1980 году окончил механико-математический факультет МГУ и затем аспирантуру, в 1984 году в МГУ защитил диссертацию на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук на тему «Движение тел в атмосферах планет с потерей массы при преобладающем радиационном нагреве» (научные руководители — академик Г. И. Петров и профессор В. П. Стулов).
До РГБ работал в Институте механики МГУ, занимался задачами, связанными с движением космических тел. Был приглашен в Научную библиотеку МГУ для решения задач по автоматизации и компьютеризации библиотечных процессов. Один из создателей русского формата МАRС, созданного для перевода информации с бумажных носителей в электронный вид. Успешная реализация планов по компьютеризации Научной библиотеки МГУ привлекла внимание руководителей вузов и других организаций к проблемам библиотек и к осознанию значимости библиотек не только как хранилищ книг, но и как информационных центров. Был назначен заместителем директора Научной библиотеки Московского государственного университета. Позже А. И. Вислого попросили одновременно возглавить информационный отдел «Роснефти» .
В Российской государственной библиотеке работает с 1998 года — сначала помощником директора по автоматизации, затем заведующим Центром информационных технологий, с 2001 по 2009 год — заместителем генерального директора РГБ, директором по информатизации.
С 1999 по 2001 год занимал должность начальника ГИВЦ Министерства культуры РФ, не оставляя работу в Российской государственной библиотеке.
В октябре 2009 года распоряжением председателя Правительства РФ назначен директором Российской государственной библиотеки.Подписал Открытое письмо в Государственную Думу, в котором совместно с другими подписантами считает необходимым обратить внимание власти на непреодолимые сложности, связанные со спецификой российского законодательства в области авторских прав, которые способны остановить модернизацию и замедлить переход к информационной экономике.Выступает за либерализацию доступа к образовательной и научной литературе, является одним из самых активных инициаторов соответствующих поправок к IV части Гражданского кодекса РФ.Является одним из основных инициаторов создания Национального библиотечного ресурса.
В 2011 году избран заместителем председателя российского комитета программы ЮНЕСКО «Память мира» , занимающейся сохранением и обеспечением доступа к особо ценным объектам всемирного документального наследия. По представлению РГБ в международный реестр «Памяти мира» были включены несколько библиотечных коллекций и отдельных книг.Общественная позицияВ 2014 году подписал Коллективное обращение деятелей культуры Российской Федерации в поддержку политики Президента РФ В. В. Путина на Украине и в Крыму.Деятельность в РГБПри участии А. И. Вислого в РГБ открывались залы, ориентированные на электронные технологии: в 1999 году — Интернет-зал;в 2000 году — Зал электронного каталога;в 2001 году — Центр деловой информации;в 2002 году — Зал автоматизированного обслуживания Отдела СБО;в 2003 году — Центр автоматизированной записи читателей;в 2004 году — около 50 виртуальных читальных залов «Электронной библиотеки диссертаций» РГБ были открыты в учреждениях науки и образования по всей территории России.Активно участвовал в создании Президентской библиотеки им. Б. Н. Ельцина, при его поддержке создавались и работают такие организации, как Российский информационно-библиотечный консорциум (РИБК), Некоммерческая организация Фонд «Электронный век культуры» , Некоммерческое партнерство «Российская ассоциация электронных библиотек» (НП ЭЛБИ).16 ноября 2011 года избран президентом Библиотечной Ассамблеи Евразии, объединяющей национальные библиотеки стран СНГ и формирующей единое информационно-библиотечное и социокультурное пространство.Занимается вопросом необходимости строительства нового здания РГБ.4 марта 2016 распоряжением Правительства РФ (опубликовано 10 марта) был переведён на должность директора Российской национальной библиотеки.