Йозеф Карл Везе родился 9 августа 1888 года. Учился биологии и сельскому хозяйству в Высшей технической школе в Вене.
С 1908 по 1914 он работал там ассистентом Франца фон Хёнеля.
С 1914 по 1920 Везе самостоятельно преподавал в государственном учительском колледже в Вене, в 1920 году некоторое время работал в Венском реальном училище. Затем Везе получил степень кандидата в Университете Граца.
С 1921 года он был экстраординарным профессором Ботанического института венской Технической школы, в 1925 году стал профессором.
С 1934 по 1936 он был деканом на химическом факультете Технической школы. Йозеф Карл Везе скончался 11 февраля 1962 года.