Окончил Константиновский межевой институт в 1882 году вторым по списку, что давало право на продолжение образования на дополнительных курсах для подготовки к педагогической деятельности.
С 1884 года, после окончания дополнительных курсов при Московском университете, преподаватель Псковского землемерного училища.
С 1888 года служил в Константиновском межевом институте: в 1888 — 1900 годах классный воспитатель, с 1 октября 1900 года — старший воспитатель, в 1905 — 1909 одновременно старший преподаватель, а в 1909 — 1917 годах инспектор воспитанников Константиновского межевого института.
С августа 1916 по январь 1917 года — и. о. директора института.
С января по май 1917 года в соответствии с новым Уставом (утверждён Государственной Думой в декабре 1916 г.) Н. Н. Веселовский стал первым выборным директором Константиновского межевого института и одновременно профессором.
В период службы в институте произведён из коллежских советников в статские советники — с 5 марта 1901 года; затем в действительные статские советники — 1 января 1909 года.Основное направление научных исследований — полигонометрия, наземная фотограмметрия, вопросы оценки точности измерений. Автор более 30 публикаций.Его сын, Иван Николаевич Веселовский, известен как переводчик «Альмагеста» .