Алексей Вертков родился 31 марта 1982 года в Новосибирске.Во время учёбы в средней общеобразовательной школе занимался в пришкольной театральной студии под руководством Натальи Филипповны Ерошиной. После девятого класса с её помощью подготовился к экзаменам и поступил в Новосибирское театральное училище (руководитель курса — Сергей Николаевич Афанасьев), которое окончил в 2001 году.
С 1998 года, будучи студентом училища, был занят в спектаклях Новосибирского городского драматического театра под руководством Сергея Афанасьева, где среди прочего сыграл Шута в «Короле Лире» , Зилова-мальчика в «Утиной охоте» .
В 2001 году в Москве поступил на режиссёрский факультет РАТИ-ГИТИСа по специальности «Актёрское искусство» (руководитель курса — Сергей Васильевич Женовач), а в 2005 году окончил его.
В том же году из этого выпускного курса был создан театр «Студия театрального искусства» (СТИ) под руководством Сергея Женовача, где Алексей Вертков стал одним из ведущих артистов.Актёр сотрудничает с Московским Художественным театром имени А. П. Чехова. 2 ноября 2017 года в театре состоялась премьера спектакля «Светлый путь. 19.17» режиссёра Александра Молочникова, посвящённого 100-летию Октябрьской революции 1917 года, в котором Алексей Вертков занят в роли Баса Его Величества.
В 2018 году Вертков приглашён на главную роль (Охотник) в спектакле «Му-му» , комедии дель арте по произведениям И.
С Тургенева, режиссёра Дмитрия Крымова в Государственном театре наций, премьера которого состоялась 12 апреля 2018 года.Личная жизньЖена — Александра Вячеславовна Ребенок (род. 6 мая 1980), актриса театра и кино, телеведущая.
В июле 2017 года у пары родился первенец — сын.