Николай Верещенко родился 29 февраля 1944 года в Москве в семье военнослужащего.
В 1967 году окончил Высшее театральное училище им. М. С. Щепкина (курс Н. А. Анненкова) и поступил в труппу театра им. Ленинского комсомола. Работая там с 1967 по 1974 год он сыграл два десятка ролей классического и современного репертуара.
В 1974 году был принят в труппу Малого театра.
В последнее время занимался преподавательской деятельностью в Щепкинском училище, был заведующим труппы Малого театра. Николай Алексеевич занимался речью с дикторами на телевидении.Николай Верещенко скончался 4 февраля 2004 года немного не дожив до своего 60-летия. Похоронен на Хованском кладбище в Москве.