Родился и всю жизнь прожил в Киеве.
В 2003 году окончил Институт журналистики Киевского национального университета имени Тараса Шевченко.После завершения учебы в университете стал работать журналистом.
С 2005 и до закрытия в 2011 году был журналистом издания «Газета по-киевски» , где работал корреспондентом городских новостей, в частности, провел журналистское расследование о строительстве резиденции Виктора Януковича «Межигорье» .
С октября 2011 по февраль 2013 работал на сайте «Обозреватель» , подготовил 575 статей. Параллельно с работой в «Обозревателе» , писал на сайт «Ukrainian iPhone» , был редактором одной из рубрик.
В начале 2013 года перешел на работу в газету «Сегодня» , а через несколько недель ушёл оттуда в редакцию открывающейся газеты «Вести» .
В «Вестях» был одним из ведущих журналистов издания, писал на острые социальные темы, проводил журналистские расследования.Работая в «Газета по-киевски» , Вячеслав женился на корректоре этой газеты Светлане Кирилаш, в декабре 2009 года у них родился сын Максим.Во время Евромайдана Вячеслав Веремий с первого дня освещал события в Киеве для своего издания. Ряд его материалов отражали редакционную политику газеты «Вести» , выступавшей против Евромайдана.19 января 2014 года Веремий освещал противостояние на улице Грушевского. Во время боя у его ног разорвалась светошумовая граната «Терен-6» , при взрыве разбились очки Вячеслава, и один из осколков попал в левый глаз.
Он был дважды прооперирован в Александровской больнице. Врачам пришлось заменить хрусталик, но удалось сохранить глаз. После выхода из больницы ещё три недели Веремий провёл дома на больничном.18 февраля Вячеслав впервые вышел на работу после лечения, несмотря на то, что он практически не видел на левый глаз. По совету коллег в тот день он не ходил на Майдан, а работал в офисе.
В связи с большим количеством событий в тот день свежий номер газеты верстался поздно, и Веремий работал в редакции до полуночи.