Венезис родился в городе Кидониес (Айвалык) Малой Азии 4 марта 1904 года, в семье Михаила Меллоса. Фамилия Венезис, под которой впоследствии он писал, принадлежит его деду.Первые годы своей жизни Венезис прожил в Айвалыке, до начала Первой мировой войны, в 1914 году, когда после начавшихся гонений на христианское население Османской империи и, в частности, на греческое, обосновался с матерью и братьями в близлежащем греческом Митилини, остров Лесбос.
В Митилини он прожил до 1919 года.После капитуляции турок, по окончанию Первой мировой войны, в мае 1919 года греческая армия, по мандату Антанты, взяла регион под свой контроль и Кидониес вошёл в оккупационную зону Смирны. Мандат предписывал Греции контроль региона на 5 лет (до проведения референдума). Семья Венезиса вернулась на Родину.