В 1924 году окончил среднюю школу, затем работал учителем в сельской школе.
В 1926 году поступил на лесной факультет Казанского института сельского хозяйства и лесоводства (ныне Казанский государственный аграрный университет). Одновременно с учёбой на лесном факультете стал посещать занятия в ботаническом кабинете Казанского университета под руководством А. Я. Гордягина.
В 1930 году Борис Павлович окончил сельскохозяйственный институт, а в 1931 году сдал экзамены экстерном и получил диплом Казанского университета и стал работать в Марийском научно-исследовательским институте (Йошкар-Ола).
В 1935 году получил учёную степень кандидата биологических наук.Б. П. Васильков начал свою научную деятельность с изучения флоры цветковых растений Марийской АССР, но вскоре больший интерес проявил к шляпочным грибам. Первая его работа на эту тему — «Опыт изучения грибов при геоботанических исследованиях» оказала большое влияние на новое в то время научное направление — экологию грибов.
С 1944 года и до конца своей жизни Борис Павлович работал в Отделе низших растений Ботанического института АН СССР (ныне Ботанический институт им. В. Л. Комарова РАН).
С 1950-х годов изучал шляпочные грибы российской Арктики. Материалы для этой работы присылались зимовщиками полярных станций с Таймыра, позже он и сам участвовал в экспедициях по Кольскому полуострову, Полярному Уралу, Чукотке. Материалы по арктическим грибам не были до конца обработаны, и этот труд остался незавершённым.Кроме Арктики, Борис Павлович работал и в лесах Крыма, Кавказа, Прибайкалья, изучал гербарные образцы, присылаемые из различных районов Сибири, Приамурья, Средней Азии..mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote{float: none;padding: 0.25em 1em;border: thin solid #eaecf0}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-source{margin: 1em 0 0 5%;font-size: 105%}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq{margin: 0 -1em -0.25em}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq .NavFrame{padding: 0}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq .NavHead,.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq .NavContent{padding-left: 1.052632em;padding-right: 1.052632em}Постоянная и большая работа в полевых условиях и с гербарием сделала Бориса Павловича превосходным знатоком шляпочных грибов различных таксономических групп.
Это привлекало к нему молодёжь, начинавшую изучать трубчатые и пластинчатые макромицеты.
В результате без преувеличения можно сказать, что почти все нынешние агарикологи бывшего СССР в той или иной степени являются его учениками..mw-parser-output .ts-Конец_цитаты-source{margin: 0.357143em 2em 0 0;text-align: right}— Э. Л. Нездойминого, Б. А. Томилин