Детство и учебаРодилась 15 июля 1933 (1933-07-15) в Москве в семье архитектора. Обучаться на виолончели стала с 7 лет в ДМШ Бауманского района у Ефима Михайловича Гендлина. Через год, после начала Великой Отечественной войны она была отправлена эвакуирована на три года в Южный Казахстан, где не имела возможности заниматься на виолончели. По возвращении в Москву ранней весной 1944 года поступила в другую районную ДМШ к выпускнику Парижской консерватории Андрею Алексеевичу Борисяку, брату известного геолога и палеонтолога А. А. Борисяка.Осенью того же года Алле Васильевой порекомендовали поступить в Центральную музыкальную школу, и она поступила к Г. С. Козолуповой. У неё она училась до 1947 года, а после ухода педагога из ЦМШ виолончелистка стала учиться у 19-летнего М. Л. Ростроповича.
С ним она закончила школу в 1951 году. Во время учебы частно занималась вокалом.Затем А. Васильева поступила в Московскую консерваторию и продолжила там учиться у М. Л. Ростроповича.
Она была его первым выпуском в 1956 году. Затем к нему же она поступила в заочную исполнительскую аспирантуру, где проучилась до 1960 года.Во время учебы в консерватории помимо курса общего фортепиано А. Васильева посещала органный класс профессора Л. Ройзмана, а после окончания учебы ей официально предлагали учиться на кафедре специального фортепиано, но она отказалась.