Родился 4 (16) июля 1879 в Сергиевом Посаде в семье журналиста Ивана Андреевича Вашкова (1846—1893).
В 1893 году он начал учиться в Императорском Строгановском училище технического рисования, которое окончил в 1901 году со званием учёного рисовальщика[Комм 1].
В 1900 году проходил практику в ювелирной мастерской К. Фаберже. Ещё до получения диплома он был приглашён Оловянишниковыми на свою московскую фабрику церковной утвари[Комм 2], где занимался обновлением дизайна производимой фирмой продукции; в 1901 году стал художественным руководителем фабрики Оловянишниковых.
В 1911 году вышло фундаментальное издание «Религиозное искусство» , в котором были собраны фотографии предметов, выполненных по рисункам С. И. Вашкова.
К наиболее значительным произведениям художника в этом жанре, по мнению искусствоведа М. В. Нащокиной, относятся: гробница Преподобного Павла Обнорского в Вологде, гробницы Св. Гермогена в Московском Кремле, надгробия Карнеевых и Зыбина в Москве и ряд других. Вашков создал свой самобытный художественный язык, в котором сочетались древнерусские и древнехристианский мотивы.
В своих работах художник использовал скань, филигрань, чеканку, резьбу по дереву, финифть и другие традиционные техники, однако сочетал их оригинальными способами.
В 1909 году архиепископ Антоний (Храповицкий) взволнованно заметил: «Господь сжалился над нами, любителями церковного благолепия: древнее вдохновенное творчество священных предметов восстановлено новым художником С. И. Вашковым, которого имя займет в истории нашего церковного благолепия одно из почетнейших мест, быть может, наряду с Андреем Рублевым и Симоном Ушаковым» .Архитектурные работы Вашкова малочисленны, однако важны для истории московского модерна.С. И. Вашков участвовал в работе над альбомом, посвящённом Москве: Москва. Moscou. Moskau: Её ист. прошлое и настоящее. — М.: Изд. т-ва скоропеч. А. А. Левенсон, 1912. — 94 с.Незадолго до смерти, в 1913 году Вашков с единомышленниками основал новый художественный журнал «Светильник» и стал его главным редактором.
С марта 1914 года служил штатным преподавателем Строгановского училища. Жил в Москве на Арбате, 12 и на Чистопрудном бульваре, 14.Похоронен на Ваганьковском кладбище.