Родился 6 августа 1924 года в Пензе в семье железнодорожного машиниста. Во время Великой Отечественной войны работал учеником токаря и токарем инструментальщиком на авиационном заводе Пензы. Без отрыва от производства окончил 10-й класс средней школы и в 1944 году поступил на вечернее отделение Пензенского индустриального института (ППИ).
В 1945 году был переведён на дневное отделение ПИИ, в 1949 году окончил институт с отличием, а в 1953 году окончил аспирантуру МВТУ им. Баумана по специальности «Вычислительная техника» .После окончания аспирантуры стал работать ассистентом кафедры «Математические и счетно-решающиеприборы и устройства» (ныне — кафедра «Вычислительная техника» ) ПИИ.
В 1954 году защитил в МВТУ им. Баумана кандидатскую диссертацию на тему «Исследование устройств, автоматизирующих процесс умножения в вычислительных машинах» и был избран старшим преподавателем, а затем доцентом этой же кафедры.
В 1959 году приказом директора ППИ был назначен, а в 1960 году избран на должность заведующего кафедрой «Вычислительная техника» ПИИ и проработал в этой должности 45 лет (с 1960 по 2004 год). C 2004 по 2018 г.г. Николай Петрович работал в должности профессора этой кафедры.
В 1974 году Н. П. Вашкевич защитил в ЛЭТИ докторскую диссертацию на тему «Разработка и исследование специализированных вычислительных систем и устройств для автоматизации контроля изделий» .По инициативе Н. П. Вашкевича на базе ПГУ был создан диссертационный совет по защите докторских диссертаций по направлению «Информатика и вычислительная техника» , постоянным членом которого он является.Областью научных интересов профессора Н. П. Вашкевича являются: методы и средства создания специализированных вычислительных систем и устройств для автоматизации и управления технологическими процессами и объектами; теория и практика проектирования высокопроизводительных вычислительных устройств и систем на основе концепции недетерминизма и параллелизма.За время работы в вузе подготовил 38 кандидатов и 11 докторов технических наук.Умер Н.П. Вашкевич на 94-м году жизни.