Юрий Иосифович Громов родился 19 октября 1933 года в Ленинграде. Его мать, Елизавета Николаевна Громова (1910—2000), ученица А. Я. Вагановой, была педагогом Ленинградского хореографического училища: она преподавала классический и историко-бытовой танец в младших классах.Во время войны Ю. Громов вместе с матерью эвакуировался с училищем в Пермь, где и начал своё хореографическое образование, став учеником младших классов вагановского училища.Весной 1951 окончил Ленинградское академическое хореографическое училище имени А. Я. Вагановой по классу Владимира Ивановича Пономарёва.
В 1952—1953 стажировался как педагог-практикант и вёл балетмейстерскую работу в ЛАХУ им. А. Я. Вагановой.
С 1953 по 1960 годы работал педагогом-руководителем хореографических коллективов ДК им. Первой Пятилетки, Д. К. им. Горького, Дворца пионеров им. Жданова, а также продолжал свою балетмейстерскую деятельность в Народном театре оперы и балета при Дворце Культуры им. Кирова.
В 1960 г. начал работать преподавателем-балетмейстером в Высшей профсоюзной школе культуры (ныне Санкт-Петербургский гуманитарный университет профсоюзов), где готовили кадры руководителей-практиков самодеятельного искусства.
В 1961 г. создал и возглавил кафедру хореографического искусства ВПШК, которой бессменно руководил до 2009 года.
На базе кафедры создал студенческий театр танца «Белые ночи» , который был лауреатом престижных российских и международных конкурсов и фестивалей. Ю. И. Громов являлся его бессменным художественным руководителем и главным балетмейстером.
С 1963 г. в течение многих лет преподавал хореографию и сценическое движение в ЛГИТМиКе, где подготовил более 400 учеников.
В 1965 г. окончил Ленинградскую ВПШК по специальности «культурно-просветительская работа» .
С 1968 по 1980 году вёл большую постановочную деятельность в Бурятском государственном академическом театре оперы и балета.
В 1974 г. защитил диссертацию на тему «Танец и его роль в воспитании пластической культуры актёра» и получил учёную степень кандидата искусствоведения.
В 2000 г. был удостоен звания действительного члена Академии гуманитарных наук.
С 1960 по 2000 годы Ю. И. Громов вёл большую постановочную деятельность.
Он работал в ленинградских театрах драмы, комедии, оперетты, Мюзик-холле, Большом театре кукол, а также ставил полнометражные балетные спектакли, хореографические сюиты и миниатюры, танцы в драматических спектаклях в других городах СССР и России.
В 2006 г. совместно со своими учениками основал хореографический фестиваль-конкурс «Пари Гранд» .Умер 1 августа 2010 года в городе Ашдод (Израиль). Похоронен на местном городском кладбище.