Александр Громов учился в Рисовальной школе общества поощрения художеств и Академии художеств (окончил с двумя Серебряными медалями), дополнительно занимался в Петербургском университете. Служил в действующей армии, на фронтах Первой мировой войны. Участник выставок в России и за рубежом, экспонент Общества акварелистов, объединений: Мир искусства, Община художников, Жар-Цвет, Нового общества художников.
С 1934 года член секции графики ЛОССХСоюза художников СССР.Во второй половине 1940-х годов, после освобождения Павловска, Громов занимался реставрацией архитектурного ансамбля Павловска. Участвовал в живописных реставрационных работах в Великом Новгороде. Выполнил много работ для Государственного Фарфорового завода имени М. В. Ломоносова. Некоторые из них были отмечены почётным дипломом на Миланской выставке.Преподавал в Школе народного искусства и в «Школе Рериха» . Работал сотрудником Отдела искусств и памятников старины.