Окончил Йельский университет. Принял участие в международной экспедиции на Мадагаскар, а затем в Индокитай. Позже работал в Музее сравнительной зоологии и других крупных музеях США. Во время Второй мировой войны служил на авианосцах на Тихом Океане. Гринуэй старался избегать публичных мероприятий и мало кто из орнитологов видел его своими глазами. Его эксцентричность иногда мешала общению, учёный с большим трудом терпел обычных, не столь ярких, как он сам людей и отличался такой скрытностью, что после его смерти даже сыновья не знали о некоторых этапах академической карьеры отца.
В 1978, уже в старческом возрасте, помог организовать экспедицию в Новую Каледонию и участвовал в ней сам.